等基圆曲线齿锥齿轮精确三维建模
为了进一步的来分析等基圆曲线齿锥齿轮的啮合和传动特点，以等基圆曲线齿锥齿轮的特征原理为基础，研究了齿轮的齿线特性以及刀具设计的方法。通过对指状铣刀进行运动分析，建立齿轮轮坯的切齿坐标系，完成齿轮齿面方程的求解。利用MATLAB对求解出的齿面方程进行编程处理，得到等基圆曲线齿锥齿轮单个齿凹凸齿面点云数据;将齿面点云数据按照特定的规律导出DAT文件;以DAT文件为建模基础，利用三维造型软件UG生成等基圆曲线齿锥齿轮精确三维模型。通过3D打印技术打印出来UG生成的齿轮三维模型，为在通用数控机床上利用指状铣刀铣削等基圆曲线齿锥齿轮提供了理论基础。
1引言
大型锥齿轮是在工业中普遍使用的重要传动元件，目前占主导地位的是格里森齿制弧齿锥齿轮以及奥利康齿制长幅外摆线锥齿轮。因为大型锥齿轮的模数和尺寸很大而且受到加工设备的局限，通常使用传统的仿形方法来加工。然而，锥齿轮在不同的锥距处当量齿轮的基圆半径是不一样的，并且齿廓形状也是各异的，用同一把铣刀来加工整个齿面在理论上会有较大的误差。为提高加工大型锥齿轮的精度和齿轮的承载能力，需要寻求新的加工办法。酒井高男提出过大型锥齿轮数控加工的设想，但其仅对加工误差进行分析，蔡春源提出了等基圆曲线齿锥齿轮的概念以及加工方法，为精确加工大型锥齿轮提供了新的途径。
等基圆锥齿轮是以数控加工技术为基础的区别于传统锥齿轮的新型曲线齿轮(以下简称等基圆锥齿轮)。在加工中需要控制铣刀与轮坯之间的相对运动，从而令被加工的齿轮在不同锥距处的当量齿轮的基圆半径相等，保证了齿轮的齿廓形状不发生改变，这样可以使用一把铣刀精确加工整个齿面，并且在理论上减少了误差，提高了齿轮的加工精度。通过对该齿轮进行精确三维建模，并利用3D技术打印出3D模型，验证了基圆锥齿轮结构和原理的可行性。
2等基圆锥齿轮的成形原理
使用数控加工方法来加工等基圆锥齿轮，控制刀具与轮坯做特定的相对运动，加工出来不同锥距处当量齿轮基圆半径相等的要求。在此之上，可以推导出齿轮的特征，即在齿轮任意的锥距处基圆半径为：
式中：z—齿轮齿数;
δ—齿轮分锥角;
β—锥距为R处齿线的螺旋角;
βe—锥距为Re处齿线的螺旋角;
αn—法面压力角;
mt—锥距R处端面模数;
mte—锥距为Re大端的端面模数。
通过式(1)，可以得到等基圆锥齿轮其齿线螺旋角β和锥距R的变化关系：
3等基圆锥齿轮齿面推导
3.1指状铣刀的设计
在加工锥齿轮过程中，指状铣刀匀速从轮坯的大端移动到小端，由指状铣刀曲面和被加工轮坯的相对运动包络生成等基圆锥齿轮的齿面。同时，轮坯按照一定速率变速旋转，从而加工出来特殊的齿线[3-4]。
根据齿轮传动的要求，在仿形加工等基圆锥齿轮的时候，齿廓工作部分应该足够高避免与相啮合的齿廓干涉。为了满足上述要求，指状铣刀的轴截形按照当量直齿圆柱齿轮的齿廓进行设计，如图1所示。指状铣刀的轴截形坐标系：σa(oa-ia，ja);刀具的辅助坐标系：σn(on-in，jn)。
图1指形锐刀轴截形
Fig.1TheFingerTypeMillingCutter’sAxialSection
图中：AB段—刀尖圆弧;
CD—是设计刀具处当量齿轮齿廓渐开线;
BC段—连接AB段与CD段间的直线。
为了改善轮齿啮合性能可以对E点以上的部分进行修形处理，修形后的刀具廓线为ABCED′，由图1刀具轴截形坐标系，求得刀具廓线上的特殊点C，B，A点的坐标值，得到指状铣刀轴截形AB、BC和CD段的实际廓线方程，为下节刀具曲面的生成提供基础。
3.2齿轮切齿坐标系的建立
从指状铣刀切削齿轮轮坯的过程出发，建立出等基圆锥齿轮的切齿坐标系，可以清晰表达出指状铣刀和轮坯在切齿坐标系中的相对运动位置关系[5-6]，如图2所示。
图2齿轮的切齿坐标系
Fig.2CoordinateSystemsAppliedforCuttingTooth
图中：δi—被加工齿轮根锥角;
—刀具中心oi与毛坯锥顶oc之间的矢量;
γ—刀具在刀具坐标系内的转动角度;
e—轮坯在其坐标系内转动角度;
)—是和齿轮轮坯相固联的坐标系，描述轮坯的运动情况;
)—固联于刀具的坐标系;σ(o-i→，j→，k→)—空间坐标系。
在齿轮切齿坐标系当中，坐标系σi坐标系原点oi位于齿轮的锥顶，切齿时，轮坯绕着k→轴按照一定规律转动;空间坐标系σ实现刀具坐标系和轮坯坐标系之间的运动变换;刀具轴截形在σc刀具坐标系中顺时针回转形成刀具曲面∑(c)，由生成的刀具曲面求解出来其曲面方程r→(c)。然后利用MATLAB编程出刀具轴截形回转所生成的铣刀曲面数学模型，如图3所示。
图3刀具曲面
Fig.3TheCuttingToolsSurface
3.3等基圆锥齿轮的齿面方程
刀具曲面是回转曲面，每一瞬时均和齿面有一条接触线。从刀具坐标系σc运动至被加工轮坯坐标系σi需要经过矩阵变换。利用三个右手系直角坐标系及其变换矩阵，可以描述出刀具曲面∑(c)和锥齿轮齿面∑(l)之间的几何运动关系[7-9]，变换矩阵如下：
式中：Moc—从刀具坐标系变换至空间坐标系的变换矩阵;
Mio—从空间坐标系变换至轮坯坐标系变换矩阵;
e—轮坯的转角。
在刀具坐标系σc中来求解刀具曲面∑(c)和等基圆锥齿轮齿面∑(i)接触点相对速度和啮合方程，从而推导出等基圆锥齿轮的齿面方程
以右旋小齿轮为例，将得到的凹凸齿面方程和指状铣刀刀具曲面方程输入到MATLAB中进行编程实验得到齿轮凹凸齿面，如图4所示。
图4齿轮齿面
Fig.4ThePinion’sToothSurface
4等基圆锥齿轮齿面点计算
4.1齿面点的计算
为了计算出精确的轮齿齿面点的坐标，在轮齿轴截面内建立平面直角坐系(O-X，Y)，在轴截面上取一齿面点M，如图5所示。
图5轮齿轴截面坐标系
Fig.5CoordinateSystemsAppliedforGear’sAxialSection
图中：Rm—平均锥距;Re—内锥距;Ri—外锥距;hf—齿根高;δi—被加工齿轮根锥角;齿面上点M到锥顶的轴向距离和到轴线的距离为：
根据等基圆锥齿轮的特点，坐标原点设在齿宽中点的根锥母线上，X轴正向沿着根锥母线指向大端，Y轴指向齿顶。由图5推导出齿面点M(X，Y)的坐标和柱面坐标的关系：
联立式(6)和式(7)可以求得齿面点M(X，Y)的坐标。
4.2齿面片的生成
将齿面点坐标按照一定规律排列导出DAT文件，而后将其导入UG中，生成小齿轮凹凸齿面片，连接凹凸面齿面片的顶端，形成一个完整的齿槽。
5等基圆锥齿轮的三维建模
5.1齿轮三维模型的生成
在UG软件中，根据齿轮的基本参数创建绘制等基圆锥齿轮的二维草图图形，为三维建模做好基础[10]。等基圆锥齿轮的基本几何参数，如表1所示。
表1齿轮基本几何参数
Tab.1OperatingParameters
以等基圆锥齿轮的小轮为例，在UG中将绘制的二维草图进行回转，生成齿轮的三维毛坯模型，用前面已经做好的小齿轮齿面片对齿轮毛坯进行修剪，得到一个齿槽，而后由齿轮齿数对齿槽进行阵列，生成了小齿轮的精确三维模型，如图6所示。
图6小轮精确三维模型
Fig.6Pinion’sModeloftheGear
5.2等基圆锥齿轮的装配实验
在UG的装配环境下将已经生成的等基圆锥齿轮大齿轮和小齿轮三维模型进行虚拟装配实验，如图7所示。
图7齿轮副的装配图
Fig.7TheAssemblyDiagramoftheGear
5.3等基圆锥齿轮的接触区检测分析
通过将齿轮副进行虚拟运动仿真，对齿轮的接触效果进行分析，检验齿轮副的接触情况。为了验证等基圆锥齿轮的普遍通用性，采用另外一对大小轮齿数分别为15和23的齿轮进行运动仿真，可以观测到齿轮副每一时刻接触区的位置和大小形状，为以后的TCA分析以及齿轮修型做好基础，如图8所示。
图8齿轮副的运动仿真
Fig.8TheMotionSimulation
6等基圆锥齿轮3D打印模型
利用极光尔沃3D打印机A8工业级打印机打印齿轮的三维模型，可以更加清晰的看出等基圆锥齿轮齿廓形状和结构。实验用3D打印机，如图9所示。
图93D打印机
Fig.93DPrinter
将UG生成的齿轮三维模型导出为3D打印机识别的STL文件。而后导入到3D打印机中，按照1：8的比例通过3D打印技术打印出来齿轮3D模型，如图10所示。
图10齿轮3D模型
Fig.DModeloftheGear
7结论
通过建立等基圆锥齿轮精确的三维模型，对等基圆锥齿轮大轮和小轮进行装配，利用3D打印机打印出齿轮的三维模型，验证了等基圆锥齿轮结构上的可行性以及原理的正确性。从而为以后的滚捡实验和TCA轮齿接触分析以及齿轮的数控加工提供了很好的理论基础。
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