弧齿锥齿轮几何参数计算及三维建模方法

1弧齿锥齿轮的基本概念

1.1锥齿轮的节锥

对于相交轴之间的齿轮传动，一般采用锥齿轮。锥齿轮按其齿向线类型又分为直齿锥齿轮和曲线齿锥齿轮，常用曲线齿锥齿轮为弧齿锥齿轮和摆线齿锥齿轮，这里我们主要介绍弧齿锥齿轮。弧齿锥齿轮副的形式如图1所示，

图1弧齿锥齿轮副

弧齿锥齿轮的节锥同直齿锥齿轮的节锥一样，相当于一对相切圆锥面作纯滚动，它是齿轮副相对运动的瞬时轴线绕齿轮轴线旋转形成的(图2)。

图2锥齿轮的节锥与节面

两个相切圆锥的公切面成为齿轮副的节平面。齿轮轴线与节平面的夹角，即节锥的半锥角称为锥齿轮的节锥角δ1或δ2。两齿轮轴线之间的夹角称为锥齿轮副的轴交角Σ。节锥任意一点到节锥顶点O的距离称为该点的锥距Ri，节点P的锥距为R。因锥齿轮副两个节锥的顶点重合，则

大小轮的齿数之比称为锥齿轮的传动比

小轮和大轮的节点半径r1、r2分别为

它们与锥齿轮的齿数成正比，即

传动比与轴交角已知，则节锥可惟一的确定，大、小轮节锥角计算公式为

当Σ=90°时，即正交锥齿轮副，

1.2弧齿锥齿轮的旋向与螺旋角

1．旋向

弧齿锥齿轮的轮齿对母线的倾斜方向称为旋向，有左旋和右旋两种(图3)。面对轮齿观察，由小端到大端顺时针倾斜者为右旋齿轮(图3b)，逆时针倾斜者则为左旋齿(图3a)。大小轮的旋向相反时，才能啮合。一般情况下，工作面为顺时针旋转的(从主动轮背后看，或正对被动轮观察)，主动锥齿轮的螺旋方向为左旋，被动轮为右旋(图1)；工作面为逆时针旋转的，情况相反。这样可保证大小轮在传动时具有相互推开的轴向力，从而使主被动轮互相推开以避免齿轮承载过热而咬合。

(a)左旋(b)右旋

图3弧齿锥齿轮的旋向

2．螺旋角

弧齿锥齿轮轮齿的倾斜程度由螺旋角βi来衡量。弧齿锥齿轮纵向齿形为节平面与轮齿面相交的弧线，该弧线称为节线，平面齿轮的节线称为齿线。节线上任意一点的切线与节锥母线的夹角称为该点的螺旋角βi。通常把节线中点的螺旋角定义为弧齿锥齿轮的名义螺旋角β。弧齿锥齿轮副在正确啮合时，大小轮在节线上除了有相同的压力角之外，还要具有相同的螺旋角。

图4弧齿锥齿轮的齿线与螺旋角

由图4中的⊿OO0P，利用余弦定理可知

同理，在⊿OO0P’中

两式相减，则得节线上任意一点的螺旋角的计算公式为

式中，r0为刀盘半径。

1.3弧齿锥齿轮的压力角

弧齿锥齿轮副在节点啮合时，齿面上节点的法矢与节平面的夹角称为齿轮的压力角。弧齿锥齿轮的压力角通常指的是法面压力角αn，其中20°压力角最为常见。它与端面压力角αt的关系为

1.4弧齿锥齿轮的当量齿轮

直齿锥齿轮的当量齿轮为节圆半径为Rtanδ1、Rtanδ2，z1/cosδ2，z2/cosδ2,

的圆柱齿轮副。则弧齿锥齿轮的当量齿轮为节圆半径为Rtanδ1、Rtanδ2，齿数为z1/cosδ2，z2/cosδ2,螺旋角为β的斜齿圆柱齿轮副。因此，弧齿锥齿轮在法截面内的啮合，也可以用当量圆柱齿轮副来近似，即它们为一对节圆半径的圆柱齿轮副来近似，即它们为一对节圆半径

齿数为

的圆柱齿轮副。

2弧齿锥齿轮的重合度（Contactratio)

重合度ε又称重迭系数，反映了同时啮合齿数的多寡(图5)，其值愈大则传动愈平稳，每一齿所受的力亦愈小，因此它是衡量齿轮传动的质量的重要指标之一。实际啮合线的长度与基圆齿距的比值称为重合度。简单地来讲，一个齿啮合转过的弧长与其周节的比值即为该齿轮副的重合度。或者更通俗地讲，一个齿从进入啮合到退出啮合的时间与其啮合周期的比值为齿轮副的重合度ε。只有重合度ε＞1才能保证齿轮副连续传动。弧齿锥齿轮的重合度包括两部分，端面重合度与纵向重合度。

图5弧齿锥齿轮的重合度

2.1端面重合度（Transversecontactratio)

端面重合度又称横向重合度，弧齿锥齿轮的端面重合度可利用当量齿轮进行计算。计算过程如：

下中点锥距，mm

小齿轮齿顶角，度

大齿轮齿顶角，度

小齿轮中点齿顶高，mm

大轮中点齿顶高，mm

中点端面模数，mm

大端端面周节，mm

中点法向基节，mm

中点法向周节，mm

小齿轮中点端面节圆半径，mm

大齿轮中点端面节圆半径，mm

小齿轮中点法向节圆半径，mm

大齿轮中点法向节圆半径，mm

小齿轮中点法向基圆半径，mm

大齿轮中点法向基圆半径，mm

小齿轮中点法向顶圆半径，mm

大齿轮中点法向顶圆半径，mm

小齿轮中点法向齿顶部分啮合线长，mm

大齿轮中点法向齿顶部分啮合线长，mm

中点法向截面内啮合线长，mm

端面重合度。对直齿锥齿轮和零度锥齿轮，该数值必须大于1.0，推荐大于1.25。

2.3纵向重合度（Overlapratio)

轴面重合度又称纵向重合度。轴面重合度为齿面扭转弧与周节的比值，即

对于弧齿锥齿轮与准双曲面齿轮轴面重合度εβ应不小于1.25，最佳范围在1.25~1.75之间。

总重合度

3弧齿锥齿轮几何参数设计计算

弧齿锥齿轮各参数的名称如图6所示。

ABackangleHFaceanglePPitchangle

BBackconeangleIFacewidthQPitchconeapex

CBackconedistanceJFrontangleRPitchconeapextocrown

DClearanceKMeanconedistanceSPitchdiameter

ECrownpointLMidfaceTRootangle

FCrowntobackMMountingdistanceUShaftangle

GDedendumangleNOuterconedistanceVEquivalentpitchradius

OOutsidediameter

图6弧齿锥齿轮各参数名称(摘自AGMA-D03)

图7图6中截面A-A

弧齿锥齿轮的轮坯设计，就是要确定这些参数的计算公式和处理方法。

3.1弧齿锥齿轮基本参数的确定

在进行弧齿锥齿轮几何参数设计计算之前，首先要确定弧齿锥齿轮副的轴交角、齿数、模数、旋向、螺旋角，压力角等基本参数：

1)弧齿锥齿轮副的轴交角Σ和传动比i12，根据齿轮副的传动要求确定。

2)根据齿轮副所要传动的功率或扭矩确定小轮外端的节圆直径d1和小轮齿数z1[格里森二文集]，z1一般不得小于5。弧齿锥齿轮的外端模数m可直接按公式

确定，不一定要圆整。弧齿轮齿轮没有标准模数的概念。

3)大轮齿数可按公式

计算后圆整，大轮齿数与小轮齿数之和不少于40。

4)根据大轮和小轮的工作时的旋转方向确定齿轮的旋向。齿轮的旋向根据传动要求确定，它的选择应保证齿轮副在啮合中具有相互推开的轴向力。这样可以增大齿侧间隙，避免因无间隙而使齿轮楔合在一起，造成齿轮损坏。齿轮旋向通常选择的原则是小轮的凹面和大轮的凸面为主工作面。

5)为了保证齿轮副传动时有足够的重合度，设计弧齿锥齿轮副应选择合适的螺旋角。螺旋角越大，重合度越大，齿轮副的运转将越平稳，但螺旋角太大会增大齿轮的轴向推力，加剧轴向振动，同时会使箱体壁厚增加，反倒引起一些不利因素。因此，通常将螺旋角选择在30o~40o之间，保证纵向重合度不小于1.25。

6)弧齿锥齿轮的标准压力角有16o、20o、22.5o，通常选20o。压力角太小会降低轮齿强度，并容易发生根切；压力角太大容易使齿轮的齿顶变尖，降低重合度。

7)锥齿轮的齿面宽b一般选择大于或等于10m或0.3Re。将齿面设计得过宽并不能增加齿轮的强度和重合度。当负荷集中于齿轮内端时，反而会增加齿轮磨损和折断的危险。

3.2弧齿锥齿轮几何参数的计算

基本参数确定之后可进行轮坯几何参数的计算，其过程和步骤如下：

小轮、大轮的节圆直径d1、d2

外锥距Re

为了避免弧齿锥齿轮副在传动时发生轮齿干涉，弧齿锥齿轮一般都采用短齿。格里森公司推荐当小轮齿数z１≥12时，其工作齿高系数为1.70，全齿高系数为1.。这时，弧齿锥齿轮的工作齿高hk和全齿高ht的计算公式为

当z时齿轮的齿高必须有特殊的比例，否则将会发生根切。工作齿高系数、全齿高系数的选取按表1进行。

表1z1＜12的轮坯参数（压力角20o，螺旋角35o)

在弧齿锥齿轮的背锥上，外端齿顶圆到节圆之间的距离称为齿顶高，节圆到根圆之间的距离称为齿根高，由图6可以看到，全齿高是齿顶高和齿根高之和。

为了保证弧齿锥齿轮副在工作时小轮和大轮具有相同的强度，除传动比i12＝1的弧齿锥齿轮副之外，所有弧齿锥齿轮副都采用高度变位和切向变位。根据美国格里森的标准，高度变位系数取为

大轮的变位系数x2为负，小轮的变位系数x1为正，它们大小相等，符号相反。因此，小轮的齿顶高hae1和大轮的齿顶高hae2为

用全齿高减去齿顶高，就得到弧齿锥齿轮的齿根高

当z时，齿顶高、齿根高的计算，按表1选取大轮齿顶高系数进行。

弧齿锥齿轮副在工作时，小轮（大轮)的齿顶和大轮（小轮)的齿根之间必须留有一定的顶隙，用以储油润滑油和避免干涉。由图6可知，顶隙c是全齿高和工作齿高之差

弧齿锥齿轮一般都采用收缩齿，即轮齿的高度从外端到内端是逐渐减小的，其中最基本的形式如图6所示，齿轮的节锥顶点和根锥顶点是重合的。这时小轮的齿根角θf1和大轮的齿根角θf2可按下面的公式确定

这样，小轮的根锥角δf1和大轮的根锥角δf2的计算公式是

为了保证弧齿锥齿轮副在工作时从外端到内端都具有相同的顶隙，小轮（大轮)的面锥应该和大轮（小轮)的根锥平行。小轮的齿顶角θa1与大轮的齿顶角θa2应该由公式

选取。因此，小轮的面锥角δa1和大轮的面锥角δa2的计算公式是

图6上的E点称为轮冠，齿轮在轮冠处的直径de1、de2称为小轮和大轮的外径。由图6可以直接推得外径的计算公式

轮冠沿齿轮轴线到齿轮节锥顶点的距离称为冠顶距，由图6可知小轮冠顶距Xe1和大轮冠顶距Xe2的计算公式为

弧齿锥齿轮理论弧齿厚的确定。如果齿厚不修正，小轮和大轮在轮齿中部应该有相同的弧齿厚，都等于0.5p。但除传动比i12＝1的弧齿锥齿轮副之外，所有弧齿锥齿轮副都采用高度变位和切向变位。使小轮的齿厚增加Δ=xt1m，大轮的齿厚减少Δ，这样修正以后，可使大小轮的轮齿强度接近相等。

xt1是切向变位系数，

选定径向变位系数和切向变位系数后，可按下式计算大小齿轮的理论弧齿厚

式中，S2、S1分别大齿轮及小齿轮的大端端面理论弧齿厚。βe为大端螺旋角，计算式可由任意点螺旋角计算式导出。

弧齿锥齿轮副的法向侧隙与齿轮直径、精度等有关。格里森公司推荐的法向侧隙如表2所示。

表2法向侧隙推荐值

4双重收缩和齿根倾斜

上节讨论的弧齿锥齿轮，节锥顶点与根锥顶点重合，齿根高与锥距成正比，齿根的这种收缩情况称为标准收缩。标准收缩的齿厚与锥距成正比，齿线相互倾斜。但在实际加工中，为了提高生产效率，弧齿锥齿轮的大轮都用双面法加工。即用安装有内切刀片和外切刀片的双面刀盘在一次安装中同时节出齿槽和两侧齿面。因为刀盘轴线在加工时是与齿轮的根锥垂直的，外端要比内端切得深一些，这样就引起轮齿不正常的收缩。因为齿轮的周节总是与锥距成正比的，齿厚与锥距不成比例地收缩不仅会给加工带来困难，而且还会影响轮齿的强度和刀具的寿命。因此必须通过双重收缩或齿根倾斜加以修正。

4.1双重收缩和齿根倾斜的计算

当大轮采用双面法加工时，理想的大轮齿根角为

当小轮也用双面法加工时，以上公式对小轮也是适合的。将上式中的s1改为大轮中点弧齿厚s2就可以得到理想的小轮齿根角

大轮和小轮的齿根角之和

其中s1+s2是齿轮中点的周节，应满足公式z0(s1+s2)=2πR，代入之后就得到公式

式中，z0为冠轮齿数z0=z2/sinδ2。由式(57)算得的角度单位是弧度，欲得角度单位是度，上式应改为

弧齿锥齿轮大轮和小轮都用双面刀盘同时加工两侧齿面的方法称为双重双面法，两齿轮齿根角之和满足(57)式的齿高收缩方式称为双重收缩。令标准收缩的齿根角之和

取ΣθD=Σθs得到理想刀盘半径rD为：

上式可以作为齿轮刀盘半径rD选择的理论基础。实际的轮坯修正可以这样来进行：前述式算出刀盘的理论半径rD，如果实际选用的刀盘半径ro与rD相差不大，则轮坯可以按标准收缩设计；如果实际选用的刀盘半径r0与rD相差太大，使得小轮两端的槽宽相差太悬殊，那么轮坯就必须修正。修正时可将选定的刀盘r0代入前述式求得双重收缩的齿根角之和ΣθD。弧齿锥齿轮除小模数齿轮用双重双面法加工之外，在一般情况下都是大轮用双面法加工，小轮用单面法加工，有时用ΣθD来作为齿根角之和就显得过大。为此，格里森公司提出了最大齿根角之和的概念，规定弧齿锥齿轮副的齿根角之和不得大于

实际选用的齿根角之和Σθt，取ΣθD和Σθm中的最小值，即

按上式确定的齿根角之和可能比Σθs大，也可能比Σθs小，这就需要用改变齿轮根锥角的办法来实现，也就是将齿轮的齿根线绕某一点倾斜，这种办法称为齿根倾斜（图8所示)。

图8弧齿锥齿轮根锥倾斜

齿根倾斜，通常有绕中点倾斜（图8所示)和绕大端倾斜两种方式。齿根倾斜之后，轮坯的根锥顶点不再与节锥顶点重合。当Σθt＞Σθs时，根锥顶点落在节锥顶点之外如图9(a)所示；当Σθt＜Σθs时，根锥顶点落在节锥顶点之内（图9b)。这时，面锥顶点、根锥顶点三者都不重合，通常把这种设计方式称为“三点式”。

ab

图9齿根倾斜

4.2轮坯修正后的参数计算

实际选用的齿根角之和Σθt确定之后，关键是如何分配大轮和小轮的齿根角并确定齿根绕哪一点倾斜。格里森公司提出两种分配齿根角的方法，最早提出的方法是将差值Σθt-Σθs平均分配。即令

然后将齿根角θf1和θf2修正为

齿根绕大端倾斜时，齿轮的齿顶高、齿根高、工作齿高、全齿高都不改变。但齿轮绕中点倾斜时，齿轮的齿顶高和齿根高都要改变

这时齿轮的齿顶高和齿根高都要修正为

同时，齿轮的工作齿高和全齿高也要修正为

上面这种计算方法比较简单，但有时大轮和小轮的齿根角修正后悬殊太大，不够理想，因此，格里森公司于年又提出一种新的分配方法，按倾斜点的齿高比例进行分配。齿根绕大端倾斜时齿根角的计算公式是

这时齿轮的齿顶高和齿根高不变，常用于理论刀盘半径小于实际刀盘半径的情形。齿根绕中点倾斜时先要算出中点齿顶高和齿根高的值：

然后按下列公式确定齿根角

这样修正后弧齿锥齿轮的齿顶高、齿根高都要跟着改变、常用于理论刀盘半径比实际刀盘半径大的情形。修正后的齿高参数为

这几种修正方法都能起到修正轮坯的作用。要注意的是根锥绕大端倾斜时，齿轮的外径和冠顶距都不改变，但齿根绕中点倾斜时，由于齿顶高变了，所以外径和冠顶距也会跟着改变。在前述式中将hae1和hae2的值应改为h′ae1、h′ae2重新计算就得到了修正后的值。齿根绕大端倾斜，外端的几何参数不变，内端的几何参数变化较大。齿根绕中点倾斜，外端和内端的参数都有变化，比绕大端倾斜的变化要均匀一些。设计时可根据实际情况选用。与标准收缩相比，齿根倾斜是一种先进的设计方法，国外应用得很普遍，在设计中应尽量采用这种方法。

5三维模型的建立

现有的锥齿轮设计及制造方法，基本都是以冠轮成形理论为基础进行的，这里的锥齿轮三维模型的建立，也是建立在冠轮成形理论的基础上。我们知道，圆柱渐开线齿轮由基本齿条齿廓包络而成，与此类似，锥齿轮齿面可以看成是由冠轮的齿面通过啮合包络形成，锥齿轮的冠轮相当于圆柱齿轮的齿条，只不过，齿轮齿条问题，属于平面啮合问题，而冠轮锥齿轮问题，属于空间啮合问题。

图10冠轮与锥齿轮副啮(图片来自UG网论坛)

建立冠轮的齿廓曲面方程，通过单参数曲面包络原理，可以求得锥齿轮的齿廓曲面方程，可以直接建立锥齿轮的三维模型，基本方法如下：

已知单参数曲面族Sα，对于一个固定的α0，Sα0表示其中的一张曲面，其方程为：

其包络曲面的方程为：

其中：

采用曲面包络法的计算量比较大，在此，我们采用另外一种方法，可以将其转化为齿轮齿条问题，以减少计算量，并调用圆柱齿轮的计算程序，以较少编程的工作量。具体做法为，将冠轮的轮齿沿齿向平均分成多段，段数越多，齿形精度也越高，但通常分成10段，就能得到较高精度的锥齿轮模型。分别计算每个断面的端面模数，齿顶高及齿根高等参数，建立相应的齿条齿廓方程，按照平面曲线族的包络原理，计算该断面处的渐开线齿廓，然后根据该断面处的螺旋角，计算该断面在轮坯上，绕齿轮轴线相对参考点的偏转角度，通常以齿宽中点为设计参考点。每个断面的截面齿廓计算出来以后，可以通过混合方法将所有断面曲线混合成齿槽的曲面。

图11冠轮齿线与螺旋角

首先要计算每个截面的螺旋角，节线上任意点螺旋角计算公式为：

任意点端面模数为：

任意点端面分度圆半径：

接下来计算各个截面的齿廓曲线在节锥面上绕齿轮轴线旋转的角度，该角度反映齿向线在节锥面上缠绕。在此，我们以齿宽中点为设计参考点，该点处的端面齿廓不绕轴线旋转，其他位置以此为参考，旋转相应的角度，注意大轮小轮方向相反。

图12和图13分别为小轮和大轮的三维模型图

图12

图13

本篇只是对Gleason锥齿轮的主要设计参数做了简短总结，希望能对该齿轮的设计有一定的指导.

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